Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan

*FRS*
Srinivasa Ramanujan; FRS
Nascer	22 de dezembro de 1887; Erode , Presidência de Madras , Índia Britânica
Faleceu	26 de abril de 1920 (32 anos); Kumbakonam , Presidência de Madras , Índia Britânica
Outros nomes	Srinivasa Ramanujan Aiyangar
Cidadania	Raj britânico
Educação	Government Arts College (sem diploma); Pachaiyappa's College (sem diploma); Trinity College, Cambridge (Bacharel em Artes pela Pesquisa, 1916);
Conhecido por	Constante de Landau-Ramanujan; Mock theta functions; Conjectura de Ramanujan; Ramanujan prime; Constante de Ramanujan-Soldner; Função Ramanujan theta; Soma de Ramanujan; Identidades Rogers – Ramanujan; Teorema mestre de Ramanujan; Série Ramanujan – Sato;
Prêmios	Membro da Royal Society
	Carreira científica
Campos	Matemática
Instituições	Trinity College, Cambridge
Tese	Números altamente compostos (1916)
Orientadores acadêmicos	GH Hardy; JE Littlewood;
Influências	GS Carr
Influenciado	GH Hardy
Assinatura

Srinivasa Ramanujan FRS ( / s r ɪ n ɪ v ɑː s r ɑː m ɑː n ʊ dʒ ən / ; nascido Srinivasa Ramanujan Aiyangar , IPA: [sriːniʋaːsa ɾaːmaːnud͡ʑan ajːaŋgar] ; 22 de dezembro de 1887 - 26 de abril de 1920) foi um índio matemático que viveu durante o domínio britânico na Índia. Embora ele quase não tivesse nenhum treinamento formal em matemática pura , ele fez contribuições substanciais para a análise matemática , teoria dos números , séries infinitas e frações contínuas , incluindo soluções para problemas matemáticos então considerados insolúveis. Ramanujan inicialmente desenvolveu sua própria pesquisa matemática isoladamente: de acordo com Hans Eysenck : "Ele tentou atrair o interesse dos principais matemáticos profissionais em seu trabalho, mas falhou na maioria das vezes. O que ele tinha para mostrar a eles era muito novo, muito estranho e, além disso, apresentados de maneiras inusitadas; eles não podiam ser incomodados ". Em busca de matemáticos que pudessem entender melhor seu trabalho, em 1913 ele iniciou uma correspondência postal com o matemático inglês GH Hardy da Universidade de Cambridge , na Inglaterra.. Reconhecendo o trabalho de Ramanujan como extraordinário, Hardy arranjou-lhe uma viagem para Cambridge. Em suas notas, Hardy comentou que Ramanujan havia produzido novos teoremas inovadores , incluindo alguns que "me derrotaram completamente; nunca tinha visto nada parecido com eles antes", e alguns resultados recentemente comprovados, mas altamente avançados.

Durante sua curta vida, Ramanujan compilou independentemente quase 3.900 resultados (principalmente identidades e equações ). Muitos eram completamente novos; seus resultados originais e altamente não convencionais, como o Ramanujan prime , a função Ramanujan theta , fórmulas de partição e funções theta simuladas , abriram áreas de trabalho totalmente novas e inspiraram uma vasta quantidade de pesquisas futuras. Quase todas as suas afirmações já foram provadas corretas. The Ramanujan Journal , uma revista científica, foi estabelecido para publicar trabalhos em todas as áreas da matemática influenciadas por Ramanujan, e seus cadernos - contendo resumos de seus resultados publicados e não publicados - foram analisados e estudados por décadas desde sua morte como uma fonte de novas idéias matemáticas. Ainda em 2012, os pesquisadores continuaram a descobrir que meros comentários em seus escritos sobre "propriedades simples" e "resultados semelhantes" para certas descobertas eram em si resultados profundos e sutis da teoria dos números que permaneceram insuspeitados até quase um século após sua morte. Ele se tornou um dos mais jovens Fellows da Royal Society e apenas o segundo membro indiano, e o primeiro indiano a ser eleito Fellow do Trinity College, Cambridge. De suas cartas originais, Hardy afirmou que um único olhar bastava para mostrar que só poderiam ter sido escritas por um matemático do mais alto calibre, comparando Ramanujan a gênios matemáticos como Euler e Jacobi .

Em 1919, problemas de saúde - que agora se acredita ter sido amebíase hepática (uma complicação de episódios de disenteria muitos anos antes) - impeliram o retorno de Ramanujan à Índia, onde morreu em 1920 com 32 anos. Suas últimas cartas a Hardy, escritas em Janeiro de 1920, mostra que ele ainda estava produzindo novas idéias e teoremas matemáticos. Seu " caderno perdido ", contendo descobertas do último ano de sua vida, causou grande agitação entre os matemáticos ao ser redescoberto em 1976.

Um hindu profundamente religioso , Ramanujan creditou suas substanciais capacidades matemáticas à divindade e disse que o conhecimento matemático que exibiu foi revelado a ele pela deusa de sua família, Namagiri Thayar . Certa vez, ele disse: "Uma equação para mim não tem significado a menos que expresse um pensamento de Deus ".

Vida pregressa

Local de nascimento de Ramanujan na Rua Alahiri 18, Erode , agora em Tamil Nadu

Casa de Ramanujan na rua Sarangapani Sannidhi, Kumbakonam

Ramanujan (literalmente, "irmão mais novo de Rama ", uma divindade hindu) nasceu em 22 de dezembro de 1887 em uma família Tamil Brahmin Iyengar em Erode , Presidência de Madras (agora Tamil Nadu, Índia ), na residência de seus avós maternos. Seu pai, Kuppuswamy Srinivasa Iyengar, originalmente do distrito de Thanjavur , trabalhava como balconista em uma loja de sari . Sua mãe, Komalatammal, era dona de casa e cantava em um templo local. Eles moravam em uma pequena casa tradicional na rua Sarangapani Sannidhi, na cidade de Kumbakonam. A casa da família agora é um museu. Quando Ramanujan tinha um ano e meio de idade, sua mãe deu à luz um filho, Sadagopan, que morreu menos de três meses depois. Em dezembro de 1889, Ramanujan contraiu varíola , mas se recuperou, ao contrário dos outros 4.000 que morreram em um ano ruim no distrito de Thanjavur nessa época. Ele se mudou com sua mãe para a casa dos pais dela em Kanchipuram , perto de Madras (agora Chennai ). Sua mãe deu à luz mais dois filhos, em 1891 e 1894, ambos morreram antes de seu primeiro aniversário.

Em 1º de outubro de 1892, Ramanujan foi matriculado na escola local. Depois que seu avô materno perdeu o emprego como oficial do tribunal em Kanchipuram, Ramanujan e sua mãe voltaram para Kumbakonam e ele foi matriculado na Escola Primária Kangayan. Quando seu avô paterno morreu, ele foi mandado de volta para seus avós maternos, que então viviam em Madras. Ele não gostava da escola em Madras e tentou evitar ir. Sua família recrutou um policial local para garantir que ele frequentasse a escola. Em seis meses, Ramanujan estava de volta a Kumbakonam.

Como o pai de Ramanujan trabalhava a maior parte do dia, sua mãe cuidava do menino e eles tinham um relacionamento íntimo. Com ela, ele aprendeu sobre tradição e puranas , como cantar canções religiosas, frequentar pujas no templo e manter hábitos alimentares específicos - tudo parte da cultura brâmane . Na Escola Primária Kangayan, Ramanujan teve um bom desempenho. Pouco antes de completar 10 anos, em novembro de 1897, ele passou nos exames primários em inglês, tâmil , geografia e aritmética com as melhores pontuações do distrito. Naquele ano, Ramanujan ingressou na Town Higher Secondary School , onde encontrou a matemática formal pela primeira vez.

Uma criança prodígio aos 11 anos, ele havia esgotado os conhecimentos matemáticos de dois estudantes universitários que estavam hospedados em sua casa. Mais tarde, ele foi emprestado um livro escrito por SL Loney sobre trigonometria avançada. Ele dominou isso aos 13 anos enquanto descobria teoremas sofisticados por conta própria. Aos 14 anos, ele recebeu certificados de mérito e prêmios acadêmicos que continuaram ao longo de sua carreira escolar, e ajudou a escola na logística de alocar seus 1.200 alunos (cada um com necessidades diferentes) para seus aproximadamente 35 professores. Ele completou os exames matemáticos na metade do tempo concedido e mostrou familiaridade com a geometria e as séries infinitas. Ramanujan foi mostrado como resolver equações cúbicas em 1902; ele desenvolveu seu próprio método para resolver a quártica . No ano seguinte, ele tentou resolver a quíntica , sem saber que não poderia ser resolvida por radicais.

Em 1903, quando tinha 16 anos, Ramanujan obteve de um amigo uma cópia da biblioteca de A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics , a coleção de 5.000 teoremas de GS Carr . Ramanujan supostamente estudou o conteúdo do livro em detalhes. O livro é geralmente reconhecido como um elemento-chave para despertar seu gênio. No ano seguinte, Ramanujan desenvolveu e investigou independentemente os números de Bernoulli e calculou a constante de Euler-Mascheroni até 15 casas decimais. Seus colegas na época disseram que "raramente o entendiam" e "o admiravam com respeito".

Quando se formou na Town Higher Secondary School em 1904, Ramanujan recebeu o prêmio K. Ranganatha Rao de matemática do diretor da escola, Krishnaswami Iyer. Iyer apresentou Ramanujan como um aluno excepcional que merecia notas mais altas do que o máximo. Ele recebeu uma bolsa para estudar no Government Arts College, Kumbakonam , mas estava tão concentrado na matemática que não conseguia se concentrar em nenhuma outra matéria e reprovou na maioria delas, perdendo a bolsa no processo. Em agosto de 1905, Ramanujan fugiu de casa, indo em direção a Visakhapatnam , e permaneceu em Rajahmundry por cerca de um mês. Mais tarde, ele se matriculou no Pachaiyappa's College em Madras. Lá ele foi aprovado em matemática, optando apenas por tentar questões que o atraíam e deixando o resto sem resposta, mas teve um desempenho ruim em outras disciplinas, como inglês, fisiologia e sânscrito. Ramanujan foi reprovado no exame de Fellow of Arts em dezembro de 1906 e novamente um ano depois. Sem um diploma de FA, ele deixou a faculdade e continuou a buscar pesquisas independentes em matemática, vivendo em extrema pobreza e muitas vezes à beira da fome.

Em 1910, após um encontro entre Ramanujan de 23 anos e o fundador da Sociedade Matemática Indiana , V. Ramaswamy Aiyer , Ramanujan começou a obter reconhecimento nos círculos matemáticos de Madras, levando à sua inclusão como pesquisador na Universidade de Madras .

Maioridade na Índia

Em 14 de julho de 1909, Ramanujan casou-se com Janaki (Janakiammal; 21 de março de 1899 - 13 de abril de 1994), uma garota que sua mãe havia escolhido para ele um ano antes e que tinha dez anos quando se casaram. Naquela época, não era incomum que casamentos fossem arranjados com meninas em tenra idade. Janaki era de Rajendram, um vilarejo próximo à estação ferroviária de Marudur ( distrito de Karur ). O pai de Ramanujan não participou da cerimônia de casamento. Como era comum naquela época, Janaki continuou a ficar em sua casa materna por três anos após o casamento, até atingir a puberdade. Em 1912, ela e a mãe de Ramanujan juntaram-se a Ramanujan em Madras.

Após o casamento, Ramanujan desenvolveu uma hidrocele testículo . A condição poderia ser tratada com uma operação cirúrgica de rotina que liberaria o fluido bloqueado no saco escrotal, mas sua família não tinha dinheiro para a operação. Em janeiro de 1910, um médico se ofereceu para fazer a cirurgia sem nenhum custo.

Após sua cirurgia bem-sucedida, Ramanujan procurou um emprego. Ele ficou na casa de um amigo enquanto ia de porta em porta por Madras em busca de um cargo clerical. Para ganhar dinheiro, ele ensinou alunos no Presidency College que estavam se preparando para o exame de AF.

No final de 1910, Ramanujan adoeceu novamente. Ele temia por sua saúde e disse a seu amigo R. Radakrishna Iyer para "entregar [seus cadernos] ao professor Singaravelu Mudaliar [o professor de matemática do Pachaiyappa's College] ou ao professor britânico Edward B. Ross, do Madras Christian College . " Depois que Ramanujan se recuperou e recuperou seus cadernos de Iyer, ele pegou um trem de Kumbakonam para Villupuram , uma cidade sob controle francês. Em 1912, Ramanujan mudou-se com sua esposa e mãe para uma casa na rua Saiva Muthaiah Mudali, George Town , Madras , onde moraram por alguns meses. Em maio de 1913, ao garantir um cargo de pesquisador na Universidade de Madras, Ramanujan mudou-se com sua família para Triplicane .

Busca da carreira em matemática

Em 1910, Ramanujan conheceu o vice-colecionador V. Ramaswamy Aiyer , que fundou a Sociedade Matemática Indiana. Desejando um emprego no departamento de receita onde Aiyer trabalhava, Ramanujan mostrou a ele seus cadernos de matemática. Como Aiyer lembrou mais tarde:

Fiquei impressionado com os resultados matemáticos extraordinários contidos [nos cadernos]. Eu não tinha intenção de sufocar sua genialidade com uma nomeação nos degraus mais baixos do departamento de receita.

Aiyer enviou Ramanujan, com cartas de apresentação, para seus amigos matemáticos em Madras. Alguns deles olharam para seu trabalho e deram-lhe cartas de apresentação para R. Ramachandra Rao , o coletor distrital de Nelore e secretário da Sociedade de Matemática Indiana. Rao ficou impressionado com a pesquisa de Ramanujan, mas duvidou que fosse seu próprio trabalho. Ramanujan mencionou uma correspondência que teve com o professor Saldhana, um notável matemático de Bombaim , na qual Saldhana expressou falta de compreensão de seu trabalho, mas concluiu que não era uma fraude. O amigo de Ramanujan, CV Rajagopalachari, tentou acalmar as dúvidas de Rao sobre a integridade acadêmica de Ramanujan. Rao concordou em lhe dar outra chance e ouviu enquanto Ramanujan discutia integrais elípticos , séries hipergeométricas e sua teoria de séries divergentes , que Rao disse que o convenceu do brilhantismo de Ramanujan. Quando Rao perguntou o que ele queria, Ramanujan respondeu que precisava de trabalho e apoio financeiro. Rao consentiu e o enviou para Madras. Ele continuou sua pesquisa com a ajuda financeira de Rao. Com a ajuda de Aiyer, Ramanujan teve seu trabalho publicado no Journal of the Indian Mathematical Society.

Um dos primeiros problemas que ele colocou no diário foi encontrar o valor de:

{\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {1 + 3 {\ sqrt {1+ \ cdots}}}}}}.

Ele esperou que fosse oferecida uma solução em três questões, ao longo de seis meses, mas não obteve. No final, Ramanujan forneceu ele mesmo a solução para o problema. Na página 105 de seu primeiro caderno, ele formulou uma equação que poderia ser usada para resolver o problema dos radicais infinitamente aninhados .

x + n + a = {\ sqrt {ax + (n + a) ^ {2} + x {\ sqrt {a (x + n) + (n + a) ^ {2} + (x + n) {\ sqrt {\ cdots}}}}}}

Usando essa equação, a resposta à questão colocada no Journal foi simplesmente 3, obtida definindo $x = 2$ , $n = 1$ e $a = 0$ . Ramanujan escreveu seu primeiro artigo formal para o Journal sobre as propriedades dos números de Bernoulli . Uma propriedade que ele descobriu foi que os denominadores (sequência A027642 no OEIS ) das frações dos números de Bernoulli são sempre divisíveis por seis. Ele também desenvolveu um método de cálculo de $B n com$ base nos números de Bernoulli anteriores. Um desses métodos é o seguinte:

Será observado que se n é par, mas não igual a zero,

$B n$ é uma fração e o numerador de $B n / n$ em seus termos mais baixos é um número primo,
o denominador de $B n$ contém cada um dos fatores 2 e 3 uma vez e apenas uma vez,
$2 (2 - 1) B n / n$ é um número inteiro e $2 (2 - 1) B n$ conseqüentemente é um número inteiro ímpar .

Em seu artigo de 17 páginas "Algumas propriedades dos números de Bernoulli" (1911), Ramanujan deu três provas, dois corolários e três conjecturas. Sua escrita inicialmente tinha muitas falhas. Como observou o editor do Journal , MT Narayana Iyengar:

Os métodos do Sr. Ramanujan eram tão concisos e inovadores e sua apresentação tão carente de clareza e precisão, que o comum [leitor matemático], não acostumado a tal ginástica intelectual, dificilmente poderia segui-lo.

Ramanujan mais tarde escreveu outro artigo e também continuou a fornecer problemas no Journal . No início de 1912, ele conseguiu um emprego temporário no escritório do Contador Geral de Madras , com um salário mensal de 20 rúpias. Ele durou apenas algumas semanas. Perto do final dessa missão, ele se candidatou a um cargo de Contador Chefe do Madras Port Trust .

Em uma carta datada de 9 de fevereiro de 1912, Ramanujan escreveu:

Senhor,
entendo que há um cargo de secretário vago em seu escritório e imploro para solicitar o mesmo. Passei no Exame de Matrícula e estudei até o FA, mas fui impedido de continuar meus estudos devido a várias circunstâncias adversas. Tenho, no entanto, dedicado todo o meu tempo à Matemática e a desenvolver o assunto. Posso dizer que estou bastante confiante de que posso fazer justiça ao meu trabalho se for nomeado para o cargo. Portanto, peço que você seja bom o suficiente para me conferir a nomeação.

Anexada à sua inscrição estava uma recomendação de EW Middlemast , um professor de matemática do Presidency College , que escreveu que Ramanujan era "um jovem de capacidade bastante excepcional em matemática". Três semanas depois de se inscrever, em 1º de março, Ramanujan soube que havia sido aceito como escriturário de contabilidade Classe III, Grau IV, ganhando 30 rúpias por mês. Em seu escritório, Ramanujan completou com facilidade e rapidez o trabalho que recebeu e passou seu tempo livre fazendo pesquisas matemáticas. O chefe de Ramanujan, Sir Francis Spring , e S. Narayana Iyer, um colega que também era tesoureiro da Sociedade Matemática Indiana, incentivou Ramanujan em suas atividades matemáticas.

Contato com matemáticos britânicos

Na primavera de 1913, Narayana Iyer, Ramachandra Rao e EW Middlemast tentaram apresentar o trabalho de Ramanujan a matemáticos britânicos. MJM Hill, da University College London, comentou que os papéis de Ramanujan estavam crivados de buracos. Ele disse que embora Ramanujan tivesse "um gosto pela matemática e alguma habilidade", ele não tinha a formação educacional necessária e a base para ser aceito pelos matemáticos. Embora Hill não tenha se oferecido para aceitar Ramanujan como estudante, ele deu conselhos profissionais completos e sérios sobre seu trabalho. Com a ajuda de amigos, Ramanujan redigiu cartas para importantes matemáticos da Universidade de Cambridge.

Os primeiros dois professores, HF Baker e EW Hobson , devolveram os artigos de Ramanujan sem comentários. Em 16 de janeiro de 1913, Ramanujan escreveu a GH Hardy . Vindo de um matemático desconhecido, as nove páginas de matemática fizeram Hardy inicialmente ver os manuscritos de Ramanujan como uma possível fraude. Hardy reconheceu algumas das fórmulas de Ramanujan, mas outras "pareciam quase impossíveis de acreditar". Um dos teoremas que Hardy achou incrível estava no final da página três (válido para $0 < a < b + 1 / 2$ ):

{\ displaystyle \ int \ limits _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {(b + 1) ^ {2}}}} {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} \ times {\ frac {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {(b + 2) ^ {2}}}} { 1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {(a + 1) ^ {2}}}}} \ times \ cdots \, dx = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ vezes {\ frac {\ Gamma \ left (a + {\ frac {1} {2}} \ right) \ Gamma (b + 1) \ Gamma (b-a + 1)} {\ Gamma (a) \ Gamma \ esquerda (b + {\ frac {1} {2}} \ direita) \ Gamma \ esquerda (b-a + {\ frac {1} {2}} \ direita)}}.}

Hardy também ficou impressionado com alguns dos outros trabalhos de Ramanujan relacionados às séries infinitas:

{\ displaystyle 1-5 \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {3} +9 \ left ({\ frac {1 \ times 3} {2 \ times 4}} \ right) ^ {3} -13 \ left ({\ frac {1 \ times 3 \ times 5} {2 \ times 4 \ times 6}} \ right) ^ {3} + \ cdots = {\ frac {2} {\ pi}}}

{\ displaystyle 1 + 9 \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) ^ {4} +17 \ left ({\ frac {1 \ times 5} {4 \ times 8}} \ right) ^ {4} +25 \ left ({\ frac {1 \ times 5 \ times 9} {4 \ times 8 \ times 12}} \ right) ^ {4} + \ cdots = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, \ Gamma ^ {2} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}}.}

O primeiro resultado já havia sido determinado por G. Bauer em 1859. O segundo era novo para Hardy e era derivado de uma classe de funções chamada série hipergeométrica , que havia sido pesquisada pela primeira vez por Euler e Gauss. Hardy achou esses resultados "muito mais intrigantes" do que o trabalho de Gauss sobre integrais. Depois de ver os teoremas de Ramanujan em frações contínuas na última página dos manuscritos, Hardy disse que os teoremas "me derrotaram completamente; eu nunca tinha visto nada parecido com eles antes", e que eles "devem ser verdadeiros, porque, se fossem não é verdade, ninguém teria imaginação para inventá-los ". Hardy perguntou a um colega, JE Littlewood, para dar uma olhada nos jornais. Littlewood ficou surpreso com a genialidade de Ramanujan. Depois de discutir os papéis com Littlewood, Hardy concluiu que as cartas eram "certamente as mais notáveis que recebi" e que Ramanujan era "um matemático da mais alta qualidade, um homem de originalidade e poder totalmente excepcionais". Um colega, EH Neville , comentou mais tarde que "nenhum [teorema] poderia ter sido definido no exame matemático mais avançado do mundo".

Em 8 de fevereiro de 1913, Hardy escreveu a Ramanujan uma carta expressando interesse em seu trabalho, acrescentando que era "essencial que eu visse as provas de algumas de suas afirmações". Antes de sua carta chegar a Madras, na terceira semana de fevereiro, Hardy contatou o Indian Office para planejar a viagem de Ramanujan a Cambridge. O secretário Arthur Davies, do Comitê Consultivo para Estudantes Indianos, reuniu-se com Ramanujan para discutir a viagem ao exterior. De acordo com sua educação brâmane, Ramanujan recusou-se a deixar seu país para " ir para uma terra estrangeira ". Enquanto isso, ele enviou a Hardy uma carta repleta de teoremas, escrevendo: "Encontrei em você um amigo que vê meu trabalho com simpatia".

Para complementar o endosso de Hardy, Gilbert Walker , um ex-professor de matemática no Trinity College, Cambridge , olhou para o trabalho de Ramanujan e expressou surpresa, instando o jovem a passar um tempo em Cambridge. Como resultado do endosso de Walker, B. Hanumantha Rao, professor de matemática em uma faculdade de engenharia, convidou o colega de Ramanujan, Narayana Iyer, para uma reunião do Conselho de Estudos em Matemática para discutir "o que podemos fazer por S. Ramanujan". O conselho concordou em conceder a Ramanujan uma bolsa de pesquisa mensal de 75 rúpias pelos próximos dois anos na Universidade de Madras . Enquanto era estudante de pesquisa, Ramanujan continuou a enviar artigos para o Journal of the Indian Mathematical Society. Em um caso, Iyer submeteu alguns dos teoremas de Ramanujan sobre soma de séries ao jornal, acrescentando: "O seguinte teorema é devido a S. Ramanujan, o estudante de matemática da Universidade de Madras." Mais tarde, em novembro, o professor britânico Edward B. Ross, do Madras Christian College, que Ramanujan conhecera alguns anos antes, invadiu sua classe um dia com os olhos brilhando, perguntando aos alunos: "Ramanujan sabe polonês?" O motivo era que, em um artigo, Ramanujan havia antecipado o trabalho de um matemático polonês cujo artigo acabara de chegar pelo correio. Em seus artigos trimestrais, Ramanujan elaborou teoremas para tornar as integrais definidas mais facilmente solucionáveis. Trabalhando com base no teorema da integral de 1821 de Giuliano Frullani, Ramanujan formulou generalizações que poderiam ser feitas para avaliar integrais antes inflexíveis.

A correspondência de Hardy com Ramanujan azedou depois que Ramanujan se recusou a ir para a Inglaterra. Hardy convocou um colega que lecionava em Madras, EH Neville, para orientar e trazer Ramanujan para a Inglaterra. Neville perguntou a Ramanujan por que ele não iria para Cambridge. Aparentemente, Ramanujan havia aceitado a proposta; Neville disse: "Ramanujan não precisava de conversão" e "a oposição de seus pais foi retirada". Aparentemente, a mãe de Ramanujan teve um sonho vívido no qual a deusa da família, a divindade de Namagiri , ordenou que ela "não ficasse mais entre seu filho e o cumprimento de seu propósito de vida". Ramanujan viajou para a Inglaterra de navio, deixando sua esposa para ficar com seus pais na Índia.

Vida na inglaterra

Ramanujan (centro) e seu colega GH Hardy (extrema direita), com outros cientistas, fora da Casa do Senado, Cambridge , c.1914-19

Whewell's Court, Trinity College, Cambridge

Ramanujan partiu de Madras a bordo do SS Nevasa em 17 de março de 1914. Quando desembarcou em Londres em 14 de abril, Neville o esperava com um carro. Quatro dias depois, Neville o levou para sua casa na Chesterton Road, em Cambridge. Ramanujan imediatamente começou seu trabalho com Littlewood e Hardy. Depois de seis semanas, Ramanujan saiu da casa de Neville e fixou residência em Whewell's Court, a cinco minutos a pé do quarto de Hardy. Hardy e Littlewood começou a olhar os cadernos de Ramanujan. Hardy já havia recebido 120 teoremas de Ramanujan nas duas primeiras cartas, mas havia muito mais resultados e teoremas nos cadernos. Hardy viu que alguns estavam errados, outros já haviam sido descobertos e o resto eram novos avanços. Ramanujan deixou uma profunda impressão em Hardy e Littlewood. Littlewood comentou: "Posso acreditar que ele é pelo menos um Jacobi ", enquanto Hardy disse que "só pode compará-lo com Euler ou Jacobi".

Ramanujan passou quase cinco anos em Cambridge colaborando com Hardy e Littlewood, e publicou parte de suas descobertas lá. Hardy e Ramanujan tinham personalidades altamente contrastantes. A colaboração deles foi um choque de diferentes culturas, crenças e estilos de trabalho. Nas décadas anteriores, os fundamentos da matemática foram questionados e a necessidade de rigor matemático provas reconhecidas. Hardy era um ateu e um apóstolo da prova e do rigor matemático, enquanto Ramanujan era um homem profundamente religioso que confiava fortemente em sua intuição e percepções. Hardy deu o melhor de si para preencher as lacunas na educação de Ramanujan e orientá-lo na necessidade de provas formais para apoiar seus resultados, sem atrapalhar sua inspiração - um conflito que nenhum dos dois achou fácil.

Ramanujan recebeu o título de Bacharel em Artes por Pesquisa (o predecessor do grau de PhD) em março de 1916 por seu trabalho sobre números altamente compostos , cujas seções da primeira parte foram publicadas no ano anterior no Proceedings of the London Mathematical Society . O artigo tinha mais de 50 páginas e provou várias propriedades de tais números. Hardy não gostou dessa área de tópico, mas observou que, embora envolvesse o que ele chamava de 'retrocesso da matemática', nele Ramanujan exibia 'domínio extraordinário sobre a álgebra das desigualdades'. Em 6 de dezembro de 1917, Ramanujan foi eleito para a London Mathematical Society. Em 2 de maio de 1918, ele foi eleito membro da Royal Society, o segundo indiano admitiu, depois de Ardaseer Cursetjee em 1841. Aos 31 anos, Ramanujan foi um dos mais jovens Fellows da história da Royal Society. Ele foi eleito "por sua investigação em funções elípticas e na Teoria dos Números". Em 13 de outubro de 1918, ele foi o primeiro indiano a ser eleito Fellow do Trinity College, em Cambridge .

Doença e morte

Ramanujan foi atormentado por problemas de saúde ao longo de sua vida. Sua saúde piorou na Inglaterra; possivelmente, ele também foi menos resiliente devido à dificuldade de manter os estritos requisitos dietéticos de sua religião lá e por causa do racionamento durante a guerra em 1914-1918. Ele foi diagnosticado com tuberculose e uma deficiência severa de vitaminas , e foi confinado a um sanatório . Em 1919 ele retornou a Kumbakonam , a Presidência de Madras , e em 1920 ele morreu com 32 anos. Após sua morte, seu irmão Tirunarayanan compilou as notas manuscritas restantes de Ramanujan, consistindo em fórmulas em módulos singulares, séries hipergeométricas e frações contínuas.

A viúva de Ramanujan, Smt. Janaki Ammal, mudou-se para Bombaim ; em 1931 voltou para Madras e estabeleceu-se em Triplicane , onde se sustentou com uma pensão da Universidade de Madras e renda de alfaiataria. Em 1950, ela adotou um filho, W. Narayanan, que por fim se tornou funcionário do Banco do Estado da Índia e constituiu família. Nos últimos anos, ela recebeu uma pensão vitalícia do antigo empregador de Ramanujan, o Madras Port Trust, e pensões, entre outros, da Academia Nacional de Ciências da Índia e dos governos estaduais de Tamil Nadu , Andhra Pradesh e West Bengal. Ela continuou a valorizar a memória de Ramanujan e foi ativa nos esforços para aumentar seu reconhecimento público; Matemáticos proeminentes, incluindo George Andrews, Bruce C. Berndt e Béla Bollobás fizeram questão de visitá-la enquanto na Índia. Ela morreu em sua residência em Triplicano em 1994.

Uma análise de 1994 dos registros médicos e sintomas de Ramanujan pelo Dr. DAB Young concluiu que seus sintomas médicos - incluindo recaídas, febres e condições hepáticas anteriores - eram muito mais semelhantes aos resultantes da amebíase hepática , uma doença então disseminada em Madras, do que a tuberculose. . Ele teve dois episódios de disenteria antes de deixar a Índia. Quando não tratada adequadamente, a disenteria amebiana pode permanecer latente por anos e levar à amebíase hepática, cujo diagnóstico ainda não estava bem estabelecido. Na época, se devidamente diagnosticada, a amebíase era uma doença tratável e freqüentemente curável; Os soldados britânicos que contraíram a doença durante a Primeira Guerra Mundial estavam sendo curados com sucesso da amebíase na época em que Ramanujan deixou a Inglaterra.

Personalidade e vida espiritual

Ramanujan foi descrito como uma pessoa de temperamento um tanto tímido e quieto, um homem digno com maneiras agradáveis. Ele viveu uma vida simples em Cambridge. Os primeiros biógrafos indianos de Ramanujan o descrevem como um hindu rigorosamente ortodoxo . Ele creditou sua perspicácia à deusa de sua família , Namagiri Thayar (Deusa Mahalakshmi) de Namakkal . Ele olhou para ela em busca de inspiração em seu trabalho e disse que sonhava com gotas de sangue que simbolizavam seu consorte, Narasimha . Mais tarde, ele teve visões de pergaminhos de conteúdo matemático complexo se desenrolando diante de seus olhos. Ele costumava dizer: "Uma equação para mim não tem significado a menos que expresse um pensamento de Deus".

Hardy cita Ramanujan comentando que todas as religiões pareciam igualmente verdadeiras para ele. Hardy argumentou ainda que a crença religiosa de Ramanujan foi romantizada pelos ocidentais e exagerada - em referência à sua crença, não à prática - pelos biógrafos indianos. Ao mesmo tempo, ele comentou sobre o vegetarianismo estrito de Ramanujan .

Conquistas matemáticas

Na matemática, há uma distinção entre insight e formular ou trabalhar por meio de uma prova. Ramanujan propôs uma abundância de fórmulas que poderiam ser investigadas mais tarde em profundidade. G. H. Hardy disse que as descobertas de Ramanujan são excepcionalmente ricas e que muitas vezes há mais coisas do que inicialmente aparenta. Como subproduto de seu trabalho, novas direções de pesquisa foram abertas. Os exemplos das fórmulas mais intrigantes incluem séries infinitas para $π$ , uma das quais é fornecida abaixo:

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( 4k)! (1103 + 26390k)} {(k!) ^ {4} 396 ^ {4k}}}.}

Este resultado é baseado no discriminante fundamental negativo $d$ = −4 × 58 = −232 com número de classe $h (d)$ = 2 . Além disso, 26390 = 5 × 7 × 13 × 58 e 16 × 9801 = 396 , o que está relacionado ao fato de que

{\ textstyle e ^ {\ pi {\ sqrt {58}}} = 396 ^ {4} -104,000000177 \ pontos.}

Isso pode ser comparado aos números de Heegner , que têm a classe número 1 e produzem fórmulas semelhantes.

A série de Ramanujan para $π$ converge extraordinariamente rápido e forma a base de alguns dos algoritmos mais rápidos usados atualmente para calcular $π$ . Truncar a soma para o primeiro termo também dá a aproximação 9801 √ 2/4412 para $π$ , que é correto com seis casas decimais; truncá-lo para os dois primeiros termos fornece um valor correto para 14 casas decimais. Veja também a série Ramanujan – Sato mais geral .

Uma das capacidades notáveis de Ramanujan foi a solução rápida de problemas, ilustrada pela seguinte anedota sobre um incidente em que PC Mahalanobis apresentou um problema:

Imagine que você está em uma rua com casas marcadas de 1 a $n$ . Existe uma casa entre ( $x$ ) tal que a soma dos números das casas à sua esquerda é igual à soma dos números das casas à sua direita. Se $n$ estiver entre 50 e 500, o que são $n$ e $x$ ? ' Este é um problema bivariado com várias soluções. Ramanujan pensou sobre isso e deu a resposta com uma distorção: ele deu uma fração contínua. A parte incomum era que era a solução para toda a classe de problemas. Mahalanobis ficou surpreso e perguntou como ele fez isso. 'É simples. No minuto em que ouvi o problema, soube que a resposta era uma fração contínua. Qual fração contínua, eu me perguntei. Então a resposta veio à minha mente ', Ramanujan respondeu. "

Sua intuição também o levou a derivar algumas identidades anteriormente desconhecidas , como

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} & \ left (1 + 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos (n \ theta)} {\ cosh (n \ pi)} } \ right) ^ {- 2} + \ left (1 + 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cosh (n \ theta)} {\ cosh (n \ pi)} } \ right) ^ {- 2} \\ [6pt] = {} & {\ frac {2 \ Gamma ^ {4} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)} {\ pi} } = {\ frac {8 \ pi ^ {3}} {\ Gamma ^ {4} \ left ({\ frac {1} {4}} \ right)}} \ end {alinhado}}}

para todo $θ$ tal que e , onde $Γ ($ $z$ $)$ é a função gama , e relacionado a um valor especial da função eta de Dedekind . Expandir em uma série de potências e equacionar os coeficientes de $θ$ , $θ$ e $θ$ fornece algumas identidades profundas para a secante hiperbólica . ${\ displaystyle | \ Re (\ theta) | <\ pi}$ ${\ displaystyle | \ Im (\ theta) | <\ pi}$

Em 1918, Hardy e Ramanujan estudaram extensivamente a função de partição $P (n)$ . Eles deram uma série assintótica não convergente que permite o cálculo exato do número de partições de um inteiro. Em 1937, Hans Rademacher refinou sua fórmula para encontrar uma solução de série convergente exata para esse problema. O trabalho de Ramanujan e Hardy nesta área deu origem a um novo método poderoso para encontrar fórmulas assintóticas chamado método do círculo .

No último ano de sua vida, Ramanujan descobriu funções teta simuladas . Por muitos anos, essas funções foram um mistério, mas agora são conhecidas como as partes holomórficas de formas harmônicas fracas de Maass .

A conjectura de Ramanujan

Embora existam inúmeras declarações que poderiam ter levado o nome de conjectura de Ramanujan, uma foi muito influente em trabalhos posteriores. Em particular, a conexão dessa conjectura com as conjecturas de André Weil em geometria algébrica abriu novas áreas de pesquisa. Essa conjectura de Ramanujan é uma afirmação sobre o tamanho da função tau , que tem como função geradora a forma modular discriminante Δ ( q ), uma forma cúspide típica na teoria das formas modulares . Foi finalmente provado em 1973, como consequência da prova de Pierre Deligne das conjecturas de Weil.. A etapa de redução envolvida é complicada. Deligne ganhou a Medalha Fields em 1978 por esse trabalho.

Em seu artigo "Sobre certas funções aritméticas", Ramanujan definiu a chamada função delta, cujos coeficientes são chamados de $τ (n)$ (a função tau de Ramanujan ). Ele provou muitas congruências para esses números, como $τ (p) \equiv 1 + p mod 691$ para primos $p$ . Essa congruência (e outras semelhantes que Ramanujan provou) inspirou Jean-Pierre Serre (Fields Medalist, em 1954) a conjeturar que existe uma teoria das representações de Galois que "explica" essas congruências e, mais geralmente, todas as formas modulares. $Δ (z)$ é o primeiro exemplo de uma forma modular a ser estudada desta forma. Deligne (em seu trabalho ganhador da medalha Fields) provou a conjectura de Serre. A prova do Último Teorema de Fermat procede pela primeira reinterpretação das curvas elípticas e formas modulares em termos dessas representações de Galois. Sem essa teoria, não haveria prova do Último Teorema de Fermat.

Cadernos de Ramanujan

Isso pode ter ocorrido por vários motivos. Como o papel era muito caro, Ramanujan faria a maior parte de seu trabalho e talvez suas provas na lousa , e depois transferia apenas os resultados para o papel. Usar uma lousa era comum para estudantes de matemática na Presidência de Madras na época. Ele provavelmente também foi influenciado pelo estilo do livro de GS Carr , que apresentava resultados sem provas. Finalmente, é possível que Ramanujan considerasse seu trabalho apenas para seu interesse pessoal e, portanto, registrou apenas os resultados.

O primeiro caderno tem 351 páginas com 16 capítulos um tanto organizados e algum material não organizado. O segundo tem 256 páginas em 21 capítulos e 100 páginas não organizadas, e o terceiro 33 páginas não organizadas. Os resultados em seus cadernos inspiraram vários artigos de matemáticos posteriores que tentaram provar o que ele havia encontrado. O próprio Hardy escreveu artigos explorando o material do trabalho de Ramanujan, assim como GN Watson , BM Wilson e Bruce Berndt. Em 1976, George Andrews redescobriu um quarto caderno com 87 páginas desorganizadas, o chamado "caderno perdido" .

Hardy – Ramanujan número 1729

O número 1729 é conhecido como o número Hardy – Ramanujan, após uma famosa visita de Hardy para ver Ramanujan em um hospital. Nas palavras de Hardy:

Lembro-me de uma vez que fui vê-lo quando ele estava doente em Putney . Eu havia viajado no táxi número 1729 e observei que o número me parecia um tanto enfadonho e que esperava que não fosse um presságio desfavorável. "Não", respondeu ele, "é um número muito interessante; é o menor número que pode ser expresso como a soma de dois cubos de duas maneiras diferentes."

Imediatamente antes dessa anedota, Hardy citou Littlewood dizendo: "Todo número inteiro positivo era um dos amigos pessoais [de Ramanujan]".

As duas maneiras diferentes são:

{\ displaystyle 1729 = 1 ^ {3} + 12 ^ {3} = 9 ^ {3} + 10 ^ {3}.}

Generalizações dessa ideia criaram a noção de " número de táxis ".

Opiniões dos matemáticos sobre Ramanujan

Em seu obituário de Ramanujan, escrito para a Nature em 1920, Hardy observou que o trabalho de Ramanujan envolveu principalmente campos menos conhecidos mesmo entre outros matemáticos puros, concluindo:

Sua compreensão das fórmulas foi incrível e totalmente além de qualquer coisa que já encontrei em qualquer matemático europeu. Talvez seja inútil especular sobre sua história se ele tivesse sido apresentado às idéias e métodos modernos aos dezesseis anos em vez de aos vinte e seis. Não é extravagante supor que ele possa ter se tornado o maior matemático de seu tempo. O que ele realmente fez é maravilhoso o suficiente ... quando as pesquisas que seu trabalho sugeriu forem concluídas, provavelmente parecerá muito mais maravilhoso do que é hoje.

Hardy disse ainda:

Ele combinou um poder de generalização, um sentimento de forma e uma capacidade de modificação rápida de suas hipóteses, que muitas vezes eram realmente surpreendentes, e o tornou, em seu próprio campo peculiar, sem rival em sua época. As limitações de seu conhecimento eram tão surpreendentes quanto sua profundidade. Aqui estava um homem que poderia elaborar equações modulares e teoremas ... para ordens nunca antes vistas, cujo domínio de frações contínuas era ... além do de qualquer matemático no mundo, que havia encontrado por si mesmo a equação funcional da função zeta e os termos dominantes de muitos dos problemas mais famosos da teoria analítica dos números; e ainda assim ele nunca tinha ouvido falar de uma função duplamente periódica ou do teorema de Cauchy, e tinha, de fato, a mais vaga ideia do que era uma função de uma variável complexa ... "

Quando questionado sobre os métodos que Ramanujan empregou para chegar a suas soluções, Hardy disse que eles foram "alcançados por um processo misto de argumento, intuição e indução, do qual ele era inteiramente incapaz de dar qualquer explicação coerente". Ele também disse que "nunca conheceu um igual, e só pode compará-lo com Euler ou Jacobi ".

K. Srinivasa Rao disse: "Quanto ao seu lugar no mundo da matemática, citamos Bruce C. Berndt: ' Paul Erdős nos transmitiu as avaliações pessoais de Hardy sobre os matemáticos. Suponha que avaliemos os matemáticos com base no puro talento em uma escala de 0 a 100. Hardy deu a si mesmo uma pontuação de 25, JE Littlewood 30, David Hilbert 80 e Ramanujan 100. ' "Durante uma palestra em maio de 2011 no IIT Madras , Berndt disse que nos últimos 40 anos, como quase todos das conjecturas de Ramanujan foram provadas, houve uma maior apreciação do trabalho e brilho de Ramanujan, e que o trabalho de Ramanujan estava agora permeando muitas áreas da matemática e da física modernas.

Reconhecimento póstumo

Busto de Ramanujan no jardim do Museu Industrial e Tecnológico Birla em Calcutá , Índia

O selo indiano de 2012 dedicado ao Dia Nacional da Matemática e com a participação de Ramanujan

Ramanujan no selo da Índia (2011)

No ano seguinte à sua morte, a Nature listou Ramanujan entre outros cientistas e matemáticos ilustres em um "Calendário de Pioneiros Científicos" que haviam alcançado eminência. Tamil Nadu, o estado natal de Ramanujan, celebra o dia 22 de dezembro (aniversário de Ramanujan) como o 'Dia de TI do Estado'. Os selos retratando Ramanujan foram emitidos pelo governo da Índia em 1962, 2011, 2012 e 2016.

Desde o ano do centenário de Ramanujan, seu aniversário, 22 de dezembro, tem sido celebrado anualmente como Dia de Ramanujan pelo Government Arts College, Kumbakonam , onde ele estudou, e no IIT Madras em Chennai . O Centro Internacional de Física Teórica (ICTP) criou um prêmio em nome de Ramanujan para jovens matemáticos de países em desenvolvimento em cooperação com a União Matemática Internacional , que nomeia membros do comitê do prêmio. A Universidade SASTRA , uma universidade privada com sede em Tamil Nadu , instituiu o Prêmio SASTRA Ramanujan de US $10.000 a serem dados anualmente a um matemático de até 32 anos por contribuições importantes em uma área da matemática influenciada por Ramanujan. Com base nas recomendações de um comitê nomeado pela University Grants Commission (UGC), Governo da Índia, o Srinivasa Ramanujan Centre, estabelecido pela SASTRA, foi declarado um centro fora do campus no âmbito da SASTRA University. A House of Ramanujan Mathematics, um museu da vida e obra de Ramanujan, também fica neste campus. A SASTRA comprou e renovou a casa onde Ramanujan morava em Kumabakonam.

Em 2011, no 125º aniversário de seu nascimento, o governo indiano declarou que o dia 22 de dezembro será comemorado todos os anos como o Dia Nacional da Matemática . O então primeiro-ministro indiano, Manmohan Singh, também declarou que 2012 seria celebrado como o Ano Nacional da Matemática .

Ramanujan IT City é uma zona econômica especial (SEZ) de tecnologia da informação (TI) em Chennai que foi construída em 2011. Situado próximo ao Parque Tidel , inclui 25 acres (10 ha) com duas zonas, com uma área total de 5,7 milhões pés quadrados (530.000 m), incluindo 4,5 milhões de pés quadrados (420.000 m) de espaço para escritórios.

Na cultura popular

The Man Who Knew Infinity é um filme de 2015 baseado no livro de Kanigel. O ator britânico Dev Patel interpreta Ramanujan.
Ramanujan , um filme de colaboração indo-britânica que narra a vida de Ramanujan, foi lançado em 2014 pela empresa cinematográfica independente Camphor Cinema . O elenco e a equipe técnica incluem a diretora Gnana Rajasekaran , o diretor de fotografia Sunny Joseph e o editor B. Lenin . As estrelas indianas e inglesas Abhinay Vaddi, Suhasini Maniratnam , Bhama , Kevin McGowan e Michael Lieber protagonizam papéis essenciais.
Nandan Kudhyadi dirigiu os documentários indianos The Genius of Srinivasa Ramanujan (2013) e Srinivasa Ramanujan: The Mathematician And His Legacy (2016) sobre o matemático.
Ramanujan (O Homem que Reformulou a Matemática do Século 20) , um documentário dramático indiano dirigido por Akashdeep lançado em 2018.
O romance de suspense de MN Krish, The Steradian Trail, tece Ramanujan e sua descoberta acidental em sua trama que conecta religião, matemática, finanças e economia.
Partition , uma peça de Ira Hauptman sobre Hardy e Ramanujan, foi apresentada pela primeira vez em 2013.
A peça First Class Man da Alter Ego Productions foi baseada no filme de David Freeman, First Class Man . A peça gira em torno de Ramanujan e sua relação complexa e disfuncional com Hardy. Em 16 de outubro de 2011, foi anunciado que Roger Spottiswoode , mais conhecido por seu filme de James Bond, Tomorrow Never Dies , estava trabalhando na versão cinematográfica, estrelada por Siddharth .
A Disappearing Number é uma produção teatral britânica da companhia Complicite que explora a relação entre Hardy e Ramanujan.
O romance de David Leavitt , The Indian Clerk, explora os eventos que se seguiram à carta de Ramanujan a Hardy.
O Google homenageou Ramanujan em seu 125º aniversário de nascimento, substituindo seu logotipo por um doodle em sua página inicial.
Ramanujan foi mencionado no filme Good Will Hunting de 1997 , em uma cena em que o professor Gerald Lambeau ( Stellan Skarsgård ) explica a Sean Maguire ( Robin Williams ) o gênio de Will Hunting ( Matt Damon ) comparando-o a Ramanujan.
A brilhante matemática Amita Ramanujan do programa de TV Numb3rs , interpretada pela atriz meio indiana Navi Rawat , leva o nome de Ramanujan.

Outras obras da matemática de Ramanujan

George E. Andrews e Bruce C. Berndt , Caderno perdido de Ramanujan: Parte I (Springer, 2005, ISBN 0-387-25529-X )
George E. Andrews e Bruce C. Berndt, Caderno perdido de Ramanujan: Parte II , (Springer, 2008, ISBN 978-0-387-77765-8 )
George E. Andrews e Bruce C. Berndt, Caderno perdido de Ramanujan: Parte III , (Springer, 2012, ISBN 978-1-4614-3809-0 )
George E. Andrews e Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part IV , (Springer, 2013, ISBN 978-1-4614-4080-2 )
George E. Andrews e Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part V , (Springer, 2018, ISBN 978-3-319-77832-7 )
MP Chaudhary, Uma solução simples de algumas integrais fornecidas por Srinivasa Ramanujan, (Ressonância: J. Sci. Education - publicação da Indian Academy of Science, 2008)
MP Chaudhary, Mock theta functions para simular conjecturas theta, CIÊNCIA, Série A: Matemática. Sci., (22) (2012) 33–46.
MP Chaudhary, Sobre relações modulares para as identidades de tipo Roger-Ramanujan, Pacific J. Appl. Math., 7 (3) (2016) 177–184.

Publicações selecionadas sobre Ramanujan e seu trabalho

Berndt, Bruce C. (1998). Butzer, PL; Oberschelp, W .; Jongen, H. Th. (eds.). Carlos Magno e sua herança: 1200 anos de civilização e ciência na Europa (PDF) . Turnhout, Bélgica: Brepols Verlag. pp. 119–146. ISBN 978-2-503-50673-9.
Berndt, Bruce C .; Rankin, Robert A. (1995). Ramanujan: Cartas e comentários . 9 . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0287-8.
Berndt, Bruce C .; Rankin, Robert A. (2001). Ramanujan: Ensaios e Pesquisas. 22 . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2624-9.
Berndt, Bruce C. (2006). Teoria dos números no espírito de Ramanujan . 9 . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-4178-5.
Berndt, Bruce C. (1985). Cadernos de anotações de Ramanujan . Parte I. Nova York: Springer. ISBN 978-0-387-96110-1.
Berndt, Bruce C. (1999). Cadernos de anotações de Ramanujan . Parte II. Nova York: Springer. ISBN 978-0-387-96794-3.
Berndt, Bruce C. (2004). Cadernos de anotações de Ramanujan . Parte III. Nova York: Springer. ISBN 978-0-387-97503-0.
Berndt, Bruce C. (1993). Cadernos de anotações de Ramanujan . Parte IV. Nova York: Springer. ISBN 978-0-387-94109-7.
Berndt, Bruce C. (2005). Cadernos de anotações de Ramanujan . Parte V. Nova York: Springer. ISBN 978-0-387-94941-3.
Hardy, GH (março de 1937). "The Indian Mathematician Ramanujan". The American Mathematical Monthly . 44 (3): 137–155. doi : 10.2307 / 2301659. JSTOR 2301659 .
Hardy, GH (1978). Ramanujan . Nova York: Chelsea Pub. Co. ISBN 978-0-8284-0136-4.
Hardy, GH (1999). Ramanujan: Doze palestras sobre assuntos sugeridos por sua vida e obra . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2023-0.
Henderson, Harry (1995). Matemáticos modernos . Nova York: Facts on File Inc. ISBN 978-0-8160-3235-8.
Kanigel, Robert (1991). O homem que conheceu o infinito: uma vida do gênio Ramanujan . Nova York: Charles Scribner's Sons. ISBN 978-0-684-19259-8.
Leavitt, David (2007). The Indian Clerk (edição em brochura). Londres: Bloomsbury. ISBN 978-0-7475-9370-6.
Narlikar, Jayant V. (2003). Scientific Edge: the Indian Scientist From Vedic to Modern Times . Nova Delhi, Índia: Penguin Books. ISBN 978-0-14-303028-7.
Ono, Ken ; Aczel, Amir D. (13 de abril de 2016). Minha busca por Ramanujan: como aprendi a contar . Springer . ISBN 978-3319255668.
Sankaran, TM (2005). "Srinivasa Ramanujan- Ganitha lokathile Mahaprathibha" (em Malayalam). Kochi, Índia: Kerala Sastra Sahithya Parishath.

Publicações selecionadas sobre as obras de Ramanujan

Ramanujan, Srinivasa; Hardy, GH; Seshu Aiyar, PV; Wilson, BM ; Berndt, Bruce C. (2000). Artigos coletados de Srinivasa Ramanujan . AMS. ISBN 978-0-8218-2076-6.

Este livro foi publicado originalmente em 1927 após a morte de Ramanujan. Ele contém os 37 artigos publicados em periódicos profissionais por Ramanujan durante sua vida. A terceira reimpressão contém comentários adicionais de Bruce C. Berndt.

S. Ramanujan (1957). Notebooks (2 volumes) . Bombay: Tata Institute of Fundamental Research.

Esses livros contêm fotocópias dos cadernos originais escritos por Ramanujan.

S. Ramanujan (1988). The Lost Notebook e outros artigos não publicados . Nova Delhi: Narosa. ISBN 978-3-540-18726-4.

Este livro contém cópias fotográficas das páginas do "Caderno Perdido".

Problemas apresentados por Ramanujan , Journal of the Indian Mathematical Society.
S. Ramanujan (2012). Notebooks (2 volumes) . Bombay: Tata Institute of Fundamental Research.

Isso foi produzido a partir de imagens digitalizadas e microfilmadas dos manuscritos originais por arquivistas especialistas da Roja Muthiah Research Library, Chennai.

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